Công Thức Tính Năng Lượng Trong Dao Động Điều Hòa

1. Lý thuyết Năng lượng trong dao động điều hòa

1.1 Thế năng trong dao động điều hòa

a. Biểu thức thế năng

Trong dao động điều hòa, thế năng (Wₜ) được tính toán bằng công thức: \[ W_{t}=\frac{1}{2}Kx^{2}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}A^{2}cos^{2}(\omega t+\varphi_{o}) \tag{1} \] Trong đó:

• K là độ cứng của lò xo.
• x là li độ (vị trí của vật so với vị trí cân bằng).
• m là khối lượng của vật.
• ω là tần số góc.
• A là biên độ dao động (giá trị cực đại của li độ).
• φₒ là pha ban đầu.

Giá trị cực đại của thế năng được tính bằng: \[ W_{tmax}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}A^{2} \tag{2} \]

b. Sự biến đổi thế năng theo thời gian

Khi kết hợp công thức (1) và phép biến đổi lượng giác: \[ cos^{2}a=\frac{1+cos2a}{2} \] ta có: \[ W_{t}=\frac{1}{4}m\omega ^{2}A^{2}+\frac{1}{4}m\omega ^{2}A^{2}cos2(\omega t+\varphi ) \tag{3} \] Thế năng của một vật dao động điều hòa sẽ thay đổi tuần hoàn theo thời gian, và tần số góc của nó bằng hai lần tần số góc của li độ: \[ \omega ' = 2\omega \tag{4} \]

1.2 Động năng trong dao động điều hòa

a. Biểu thức động năng

Động năng (Wₕ) của một vật dao động điều hòa được xác định bởi công thức: \[ W_{d}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}A^{2}sin^{2}(\omega t+\varphi_{o}) \tag{5} \] Giá trị cực đại của động năng cũng bằng: \[ W_{dmax}=W_{tmax}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}A^{2} \tag{6} \]

b. Sự biến đổi động năng theo thời gian

Khi áp dụng phép biến đổi lượng giác: \[ sin^{2}a=\frac{1-cos2a}{2} \] ta có: \[ W_{d}=\frac{1}{4}m\omega ^{2}A^{2}-\frac{1}{4}m\omega ^{2}A^{2}cos2(\omega t+\varphi_{o}) \tag{7} \] Động năng của một vật dao động điều hòa cũng biến đổi tuần hoàn theo thời gian, với tần số góc bằng hai lần tần số góc của li độ: \[ \omega ' = 2\omega \tag{8} \]

1.3 Sự chuyển hóa năng lượng và bảo toàn cơ năng trong dao động điều hòa

a. Sự chuyển hóa năng lượng trong dao động điều hòa

Trong quá trình dao động điều hòa:

• Khi vật ở biên, độ lớn li độ cực đại và vận tốc bằng không, lúc này thế năng đạt giá trị cực đại và động năng bằng không.
• Khi vật di chuyển từ vị trí biên về vị trí cân bằng, độ lớn li độ giảm, thế năng giảm, trong khi động năng tăng.
• Tại vị trí cân bằng, độ lớn li độ bằng 0, vận tốc đạt cực đại, thế năng bằng 0 và động năng đạt giá trị cực đại.
• Khi vật di chuyển từ vị trí cân bằng ra biên, độ lớn li độ tăng, thế năng tăng và động năng giảm.

Quá trình này diễn ra liên tục, động năng và thế năng liên tục thay đổi và chuyển hóa qua lại với nhau.

b. Sự bảo toàn cơ năng trong dao động điều hòa

Cơ năng (W) trong dao động điều hòa được tính bằng tổng của thế năng và động năng: \[ W = W_{t} + W_{d} = \frac{1}{2}m\omega ^{2}A^{2} \tag{9} \] Cơ năng luôn được bảo toàn trong quá trình dao động, trong khi thế năng và động năng có thể thay đổi theo thời gian.

1.4 Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa

Đồ thị biến đổi của thế năng, động năng và cơ năng trong dao động điều hòa có thể được biểu diễn qua các dạng đồ thị hình sin, cho thấy sự tương quan giữa các loại năng lượng trong suốt quá trình dao động.

2. Bài tập Năng lượng trong dao động điều hòa

2.1 Bài 1 trang 25 Vật Lí 11 (Chân trời sáng tạo)

Giải bài tập

• Tần số góc của hệ dao động điều hòa có chu kỳ 2 s được tính như sau:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \pi \, \text{(rad/s)} \]

• Khi động năng và thế năng bằng nhau:

\[ W_{t} = W_{d} \Rightarrow \frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}cos^{2}(\omega t+\varphi_{o}) = \frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}sin^{2}(\omega t+\varphi_{o}) \]

• Từ đó ta có:

\[ cos^{2}(\omega t+\varphi_{o}) = sin^{2}(\omega t+\varphi_{o}) \Rightarrow \omega t + \varphi_{o} = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \]

• Giải hệ phương trình sẽ cho giá trị của φₒ và t.

2.2 Bài 2 trang 25 Vật Lí 11 (Chân trời sáng tạo)

• Từ vị trí cân bằng theo chiều âm của trục tọa độ, vật bắt đầu dao động điều hòa, dẫn đến động năng cực đại và thế năng cực tiểu.
• Đồ thị năng lượng sẽ thể hiện các điểm giao nhau khi động năng bằng thế năng.

2.3 Bài 1 trang 18 Vật Lý 11 (Kết nối tri thức)

• Biên độ A = 2 (cm).
• Tần số góc ω = 4π (rad/s).
• Tại t = 1s, xét pha dao động sẽ cho giá trị cụ thể.

2.4 Bài 2 trang 18 Vật Lý 11 (Kết nối tri thức)

• Xác định phương trình dao động và li độ tại thời điểm cụ thể để tìm giá trị t.

2.5 Bài 3 trang 19 Vật Lý 11 (Kết nối tri thức)

• Phân tích mối liên hệ giữa dao động của hai vật để xác định độ lệch pha.

2.6 Bài 4 trang 19 Vật Lý 11 (Kết nối tri thức)

• Tìm tần số và biên độ của dao động từ thông tin đã cho.

2.7 Bài 5 trang 19 Vật Lý 11 (Kết nối tri thức)

• Phân tích mối liên hệ giữa hai vật trong dao động để xác định độ lệch pha.

2.8 Câu hỏi 1 trang 25 Vật Lí 11 (Cánh Diều)

• Thảo luận về thế năng và động năng trong quá trình dao động.

2.9 Câu hỏi 2 trang 25 Vật Lí 11 (Cánh Diều)

• Xác định cơ năng và mối liên hệ của nó với biên độ dao động.

2.10 Câu hỏi 3 trang 26 Vật Lý 11 (Cánh Diều)

• Phân tích sự thay đổi của động năng và thế năng trong quá trình dao động.

2.11 Luyện tập 1 trang 26 Vật Lý 11 (Cánh Diều)

• Xác định khoảng thời gian trong chu kỳ khi động năng và thế năng bằng nhau.

2.12 Luyện tập 2 trang 26 Vật Lý 11 (Cánh Diều)

• Phân tích chu kỳ biến đổi của thế năng và động năng.

2.13 Luyện tập 3 trang 27 Vật Lý 11 (Cánh Diều)

• Tính toán các giá trị như chu kỳ, tần số và biên độ từ thông tin đã cho.

Tổng kết lại, phần lý thuyết và bài tập về Năng lượng trong dao động điều hòa là một phần cực kỳ quan trọng trong chương trình vật lý 11. Việc nắm vững lý thuyết sẽ giúp các bạn học sinh có thể giải quyết được các bài tập liên quan một cách hiệu quả hơn. Đừng quên truy cập vào các tài liệu học tập để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải bài tập của mình!